Ответы и объяснения

2012-11-28T01:33:31+04:00

\left \{ {{x^2-xy+y^2=7} \atop {x^2+2xy+2y^2=5}} \right

Сложим первое уравнение,домноженное на 2 со вторым:

3x^2+4y^2=19

Очевидно,что x и y не обращаются в ноль,так как число 19 простое и не имеет делителей на интервале (1;19)

Значит:

\left \{ {{3x^2=19-4y^2<19} \atop {4y^2=19-3x^2<19}} \right

\left \{ {{x^2=<6\frac{1}{3}} \atop {y^2<4\frac{3}{4}}} \right

\left \{ {{|x| \in [1;2]} \atop {|y| \in [1;2]}} \right

Из полученных отрезков лишь пара значений модулей удовлетворяет нашему уравнению:

(|x|;|y|)=(1;2)

Осталось лишь раскрыть модуль,сделаем это следующим образом:

Рассмотрим полиномы вида:

\left \{ {{F_1(x,y)=x^2-xy+y^2-7} \atop {F_2(x,y)=x^2+2xy+2y^2-5}} \right

Подставим модули корней x_0;y_0 под степени 2,так как они являются четными и не меняют значение:

\left \{ {{F_1(x_0,y_0)=|1|^2-x_0y_0+|2|^2-7} \atop {F_2(x_0,y_0)=|1|^2+2x_0y_0+2|2|^2-5}} \right

\left \{ {{F_1(x_0,y_0)=-x_0y_0-2} \atop {F_2(x_0,y_0)=2x_0y_0+3}} \right

Очевидно,что для старших мономов вида x_0y_0 обоих полиномов для обращения последних в ноль определен отрицательный знак.Это выполнимо в случае только одного отрицательного и одного положительного переменного.

Значит возможные целочисленные значения решения исходной системы:

(x;y) \in (1;-2) \cup (-1;2)