Закрытый цилиндрический бак должен вмещать V л. При каких размерах бака его полная поверхность будет минимальной? Это задание по высшей математике

2

Ответы и объяснения

2011-02-01T00:46:00+03:00

Полная поверхность равна: h*l(осн.)+pi*r²=h*2pir+pir²

V=h*pi*r² h=V/pi*r²

Полная поверхность равна: h*l(осн.)+pi*r²=V/(pi*r²)*2pir+pir²=2V/r+pi*r²

Исследуем функцию: у=2V/r+pi*r² на екстремумы.

у"=-2V/r²+2pi*r=0

pi*r³=V

r³=V/pi

r=∛(V/pi)

h=V/pi*∛(V/pi)²

  • Участник Знаний
2011-02-01T01:23:10+03:00

Обозначим радиус основания цилиндра - R

Высоту цилиндра обозначим через H

Тогда объём цилиндра \pi*R^{2}*H = V, площадь поверхности цилиндра

S = 2*\pi*R^{2}+2*\pi*R*H

 

Первый раз решаю, поэтому подробно. выразим из уравнения объёма H и подставим его в функцию площади поверхности цилиндра.

 

H = V / (\pi*R^{2})

 

S = 2*\pi*R^{2}+2*\pi*R*V / (\pi*R^{2})

 

S = 2*\pi*R^{2}+2*V / R

 

Найдём точки экстремума для функции S(R), найдя нули её производной

S'(R) = 4*\pi*R - 2*V/R^{2}

 

S'(R) принимает значение 0 только в одной точке.

 

R0 = \\sqrt[3]{V/(2*\pi)}

 

Слева от точки R0 функция S(R) убывает, а справа Возрастает. Точка R0 минимум функции S(R).

 

Ответ. R0 = \\sqrt[3]{V/(2*\pi)}

H = V/(\pi*R^{2} )