Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, взаимно перпендикулярны и равны 2 и 7. Найти площадь четырехугольника.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-11-15T15:25:35+04:00

Пусть

K,

L,

M

и

N

середины сторон соответственно

AB,

BC,

CD

и

AD

выпуклого четырёхугольника

ABCD,

LN = 2,

KM = 7.


Отрезки

KL

и

MN —

средние линии треугольников

ABC

и

ADC,

поэтому

KL ‖ AC,

KL = ‍ ‍ 1    ‍ 2  AC,

MN ‖ AC,

MN = ‍ ‍ 1    ‍ 2  AC,

значит, четырёхугольник

KLMN —

параллелограмм, а так как его диагонали

KM

и

LN

перпендикулярны, то это — ромб. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, т. е.

SKLMN  = ‍ ‍ 1    ‍ 2   · 2 · 7 = 7.


Поскольку

KL —

средняя линия треугольника

ABC,

площадь треугольника

KBL

равна четверти площади треугольника

ABC.

Аналогично, площадь треугольника

MDN

равна четверти площади треугольника

ADC,

поэтому

S‍ △KBL  + S‍ △MDN  = ‍ ‍ 1    ‍ 4  S‍ △ABC  + ‍ ‍ 1    ‍ 4  S‍ △ADC  = ‍ ‍ 1    ‍ 4  (S‍ △ABC  + S‍ △ADC ) = ‍ ‍ 1    ‍ 4  SABCD .


Аналогично,

S‍ △KAN  + S‍ △MCL  = ‍ ‍ 1    ‍ 4  SABCD .

Следовательно,

SKLMN  = SABCD  − S‍ △KBL  − S‍ △MDN  − S‍ △KAN  − S‍ △MCL  =

SABCD  − ‍ ‍ 1    ‍ 4  SABCD  − ‍ ‍ 1    ‍ 4  SABCD  = SABCD  − ‍ ‍ 1    ‍ 2  SABCD  = ‍ ‍ 1    ‍ 2  SABCD ,

SABCD  = 2SKLMN  = 2 · 7 = 14.