Ответы и объяснения

2012-11-11T16:27:44+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Покажем, что (cos x)'=-sin x

 

По определению y'=lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}

 

Приращение функции равно

\Delta y=cos (x+\Delta x)-cos x=-2sin(x+\frac{\Delta x}{2})sin (\frac {\Delta x}{2})

Ищем отношение

\frac {\Delta y}{\Delta x}=-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}

Перейдем в этом равенстве к границе, когда  \Delta x->0. В следствии непрерывности функции sin x

lim_{\Delta x->0} -sin(x+\frac{\Delta x}{2})=- -sin lim_{\Delta x->0}(x+\frac{\Delta x}{2})=-sin x

 

Для второго множителя (используя один из замечательных пределов), обозначив \Delta \frac {x}{2} =\Delta \alpha, имеем

lim_{\Delta x->0} \frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}}= lim_{\alpha->0} \frac {sin \alpha}{\alpha}=1

Поєтому

lim_{\Delta x->0} \frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0} (-sin(x+\frac{\Delta x}{2})\frac {sin (\frac {\Delta x}{2})}{\Delta \frac{x}{2}})=-sin x *1=-sin x

Т.е. (сos x)'=-sinx

 

Производная тангенса. Возьмем любую точку х є (a;b), где (a;b) - один из интервалов, на котором определена функция tg x. Ищем приращение

\Delta y=\frac {sin (x+\Delta x)}{cos(x+\Delta x)}-\frac {sin x}{cos x}= =\frac{sin(x+\Delta x)cos x-sinx cos(x+\Delta x)}{cos(x+\Delta x)cos x}= \frac{sin \Delta x}{cos(x+\Delta x)cos x}

Получаем отношение

\frac {\Delta y}{\Delta x}=\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}

переходим к границе, когда \Delta x->0.

lim_{\Delta x->0}\frac {\Delta y}{\Delta x}=lim_{\Delta x->0}\frac{\frac {sin \Delta x}{\Delta x}}{cos(x+\Delta x)cos x}=\frac {1}{cos^2 x}

Следовательно производная функции y=tg x существует и равна

(tg x)'=\frac {1}{cos^2 x}