вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) площадь фигуры, ограниченной указанными линиями

X=7cosᶟt, y=7sinᶟt

1

Ответы и объяснения

2012-11-07T19:28:09+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

x=7cos^3 t, y=7sin^ 3 t, 0 \leq t \leq 2\pi

Сначала вычислим

xy'-x'y=7^2 (cos^3 t *3sin^2 t cos t + sin^3 t *3cos^2 t sin t)= 3*49 sin^2 t cos^2 t (sin^2 t+cos^2 t)= 147 sin^2 t cos^2 t *1=147 sin^2 t cos^2 t=\frac {147}{4} sin^2 (2t)

Далее

S=\frac{1}{2} \int\limits^{2\pi}_0 {xy'-yx'} \, dt= \frac {147}{8} \int\limits^{2\pi}_0 {sin^2 2t} \, dt= \frac {147}{8} \int\limits^{2\pi}_0 {\frac {1+cos (4t)}{2}} \, dt= \frac {147}{8} (\int\limits^{2\pi}_0 {\frac {1}{2}} \, dt+\frac {1}{4}\int\limits^{2\pi}_0 {cos 4t} \, d {4t})= \frac {147}{8}(\frac {t}{2}|\limits^{2\pi}_0 +\frac {1}{4} sin (4t)|\limits^{2\pi}_0)= =\frac {147}{8}* (\pi - 0 +\frac {1}{4} (0-0))= \frac {147\pi}{8}

 

с точностью до сотых это будет 57.73