Помогите пожалуйста, напишите уравнение прямой АВ если А(0;–3);В(–1;0)

1

Ответы и объяснения

2012-10-21T14:48:43+04:00

ДАНО:
Координаты точек:
A (0, -3)
B (-1, 0)

НАЙТИ:
Найти уравнение прямой проходящей через точки A (0, -3) и B (-1, 0).

РЕШЕНИЕ:
Построим прямоугольную (декартову) систему координат .
В данной системе координат построим точки A (0, -3) и B (-1, 0).
Соединим построенные точки - получим прямую, уравнение которой нам необходимо найти.


Получим уравнение прямой проходящей через две точки в общем виде.
Воспользуемся предыдущим рисунком, внеся в него следующие изменения:
точку A (0, -3) будем обозначать A (x1, y1), а точку B (-1, 0) соответственно B (x2, y2).


Что будем делать?
Для произвольной точки плоскости М (x, y) найдем условие, которое бы выполнялось, если точка М (x, y) принадлежит прямой AB, и не выполнялось, если точка М (x, y) не принадлежит прямой AB.
Нарисуем точку М (x, y) на прямой AB.


Условие?
Очевидно, что если точка М (x, y) принадлежит прямой,
то векторы и параллельны. (они лежат на одной прямой)
AM AB
Если точка М (x, y) не принадлежит прямой, то векторы и не параллельны.
AM AB

Можно выбрать любую пару векторов, но данный выбор удобнее.
Запишем данное условие аналитически, т.е. в виде формулы.
Найдем координаты рассматриваемых векторов.
AM = (x - x1 , y - y1)
AB = (x2 - x1 , y2 - y1)
Если векторы параллельны, то их координаты пропорциональны. Запишем пропорцию.
x - x1 = y - y1 (1)
x2 - x1 y2 - y1
Мы получили уравнение прямой проходящей через две произвольные точки A и B (1).

Зачем нам данный вывод?
Ответ очень простой. В знаменателях уравнения (1) стоят координаты вектора ,
AB
который параллелен нашей прямой.
Вектор называется направляющим вектором прямой.
AB
(направляющий вектор принято обозначать )
S
При решении задач, достаточно часто встречается ситуация, когда нам известны координаты одной точки прямой и направляющий вектор прямой (т.е. координаты вектора которому параллельна искомая прямая). Уравнение прямой (1) позволяет мгновенно написать уравнение прямой в данной ситуации.
Например: нахождение высот и медиан треугольника

На что стоит обратить внимание в уравнении (1) ?
Очевидно, знаменатели уравнения (1) не могут обращаться в ноль, т.е. данное уравнение невозможно применить для прямых параллельных осям координат.

 


Вернемся к нашей исходной задаче.
Подставим координаты точек A (0, -3) и B (-1, 0) в полученное уравнение прямой (1).
x - 0 = y - (-3)
-1 - 0 0 - (-3)
x = y + 3 (2)
-1 3
Главное, что необходимо запомнить:
В знаменателях уравнения (2) стоят числа -1 и 3.
Вектор = (-1, 3) называется направляющим вектором прямой AB.
S
Вектор = (-1, 3) параллелен прямой AB.
S

3 ( x ) = -1 ( y + 3 )

3 x = - y - 3

3 x + y + 3 = 0 (3)

Мы не будем доказывать следующее утверждение, но запомнить его необходимо:
Коэффициенты при переменных х и y в уравнении прямой (3) равны 3 и 1.
Вектор = (3, 1) называется нормальным вектором прямой AB.
N
Вектор = (3, 1) перпендикулярен прямой AB.
N

Вектор = (3, 1) перпендикулярен вектору = (-1, 3).
N S

А где ответ ?
Как правило, при решении задач используются обе формы записи (2) и (3) уравнения прямой проходящей через две точки.

Почему векторы нарисованы не в масштабе?
Коэффициенты в уравнении прямой могут быть достаточно большими. И вектор элементарно не поместится на рисунке.

Почему векторы нарисованы не из центра координат?
В математике, вектор характеризуется двумя факторами: направлением и длиной. Абсолютно безразлично, в какой точке вектор имеет свое начало.