как определить в какой точке касаются эллипс и окружность?
Уровнение элипса Х2/16 + у2/4=1, уравнение окружности (х-2)2 + у2= 4.
В ответе написано "эллипс и окружность касаются в точке (4;0)", а как это найти?

1

Ответы и объяснения

2012-10-12T17:19:42+04:00

вот у тебя два равнения
Х2/16 + у2/4=1
(х-2)^2 + у^2= 4
На самом деле решение видно сразу по форме уравнений:
1. это эллипс, центр в точке 0,0, радиус по Х = 4, по Y = 2 (квадрат координаты делят на квадрат радиуса. извлекаем корень из знаменателя и вуаля!)
2. это окружность, радиусом 2, с центром в точке 2, 0.
Очевидно что такая окружность касается эллипса справа в точке 4,0

Теперь решим математически:
x^2 y^2
---- + ---- = 1
16 4

(х-2)^2 + у^2= 4

рассмотрим эту систему уравнений:
из второго уравнения мы видим:
y^2 = 4 - (x-2)^2

а теперь подставим y^2 в первое уравнение:

x^2 4 - (x-2)^2
---- + --------------- = 1
16 4

Решим уравнения, для начала домножим на 16

x^2 + 16 - 4*(x^2 - 4x + 4) - 16 = 0

x^2 - 4*(x^2 - 4x + 4) = 0

-3x^2 + 16x - 16 = 0

3x^2 - 16x + 16 = 0;

D = 256 - 192 = 64


16 - корень(64)
x1 = -------------------
3*2

16 + корень(64)
x2 = -------------------
3*2

x1 = (16 - 8) / 6 = 8/6
x2 = (16 + 8) / 6 = 4

 

теперь найдем соответсвующие иксам игреки из этого уравнения y^2 = 4 - (x-2)^2:
y1^2 = 4 - (8/6 - 12/6)^2
y1^2 = 4 - (-4/6)^2 = 4 - 16/36 = (144-16)/36 = 128/36 = 32/9

значит y1 = корень из(32/9) = 2 * sqrt(8)/ 3

        или y1 =  - 2 * sqrt(8)/ 3;

 

для x2 = 4

y1^2 = 4-(4-2)^2 = 0

y2 = 0;

 

 

Итак у нас три точки пересечения:

( 8/6, 2 * sqrt(8)/ 3)

( 8/6, 2 * sqrt(8)/ 3)

(4, 0)

 

Из них только последняя является точкой касания, первые две - точки пересечения эллипса и окружности.

 

Ответ: (4, 0)

 

P.S. задавай вопросы, если что-то непонятно