При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0

1

Ответы и объяснения

2016-08-09T01:47:34+03:00
ax^2-(a^2+5)x+3a-5=0

 Если  у  данного  уравнения существуют два различных натуральных корня X1 и X2 , то   их  сумма и произведение -  тоже натуральные числа.  тогда  по теореме Виета:

x_{1} *x_{2} =  \frac{3a-5}{a}  \\

 \frac{3a-5}{a} =  n_{1} ,    где   n1  -   нат. число.  Тогда

3a-5 = n_{1}*a \\
Правая часть данного равенства делится на a,  значит и левая должна тоже делиться на a.  Слева имеем сумму двух слагаемых,  чтобы это сумма делилась на a,  надо чтобы оба слагаемых делились на a.

3a  делится на а,  и 5 должно делиться на а.  Т.о.  а∈{ -5, -1, 1, 5}.
 
Подставляем поочередно эти  значения а  в  выражение \frac{3a-5}{a} .

a=-5,  \frac{3*(-5)-5}{-5}= \frac{-20}{-5}= 4 \\ 
a=-1,  \frac{3*(-1)-5}{-1}= \frac{-8}{-1}= 8 \\ 
a=1,  \frac{3*1-5}{1}= \frac{-2}{1}= -2 \\ 
a=5,  \frac{3*5-5}{5}= \frac{10}{5}= 2 \\

Т.о.  натуральное значение  выражение принимает при а=-5,  а=-1 и а=5.
По  т.Виета x_{1} + x_{2} = \frac{a^2+5}{a} \\
Проверим при каких из этих значений сумма корней исходного уравнения будет  натуральным числом:

a=-5;  \frac{(-5)^2+5}{-5} =  \frac{30}{-5} = -6 \\ 
a=-1;  \frac{(-1)^2+5}{-1} =  \frac{6}{-1} = -6 \\ 
a=5;  \frac{5^2+5}{5} =  \frac{30}{5} = 6 \\

Итак, уравнение может иметь два различных натуральных корня только при  a=5.  Проверим  будут ли этом значении  а  корни исходного уравнения натуральными числами.  
При   a=5.  уравнение примет вид:  
 5 x^{2} - 30x +10 =0 \\ 
 x^{2} - 6x +2 =0 \\
D = 28

значит корни будут иррациональными.

Ответ:  ∅.