Докажите, что функция y= F(x) является первообразной для функции f(x)

1) F(x)=-1/4cos2x-1/2cosx, f(x)= cosx/2 * sin3x/2

2) F(x)=3/8x-1/4sin2x+1/32sin4x, f(x)=sin в четвёртой степени x

1

Ответы и объяснения

2012-09-17T18:09:02+00:00

1) F'(x) = \frac{1}{4}*2Sin2x + \frac{1}{2}Sinx = \frac{1}{2}(Sinx + Sin2x)

Рассмотрим нашу функцию f(x)

Воспользуемся следующим тригонометрическим тождеством

Sin\alpha*Cos\beta=\frac{Sin(\alpha - \beta) + Sin(\alpha + \beta)}{2}

 

f(x) = Cos\frac{x}{2}Sin\frac{3x}{2}=\frac{1}{2}(Sinx + Sin2x)

Т.е. F'(x) = f(x) - что и требовалось доказать

 

2) F'(x) = \frac{3}{8} - \frac{1}{2}Cos2x + \frac{1}{8}Cos4x

\frac{3}{8} - \frac{1}{2}Cos2x + \frac{1}{8}Cos4x = \frac{3}{8}-\frac{1}{2}(1-2Sin^2x)+\frac{1}{8}(1 - 2Sin^22x)

\frac{3}{8}-\frac{1}{2}(1-2Sin^2x)+\frac{1}{8}(1 - 2Sin^22x) = Sin^2x-\frac{1}{4}Sin^22x

Sin^2x-\frac{1}{4}Sin^22x = Sin^2x -\frac{1}{4}(4Sin^2xCos^2x)

Sin^2x -\frac{1}{4}(4Sin^2xCos^2x)= Sin^2x-Sin^2x(1-Sin^2x)=Sin^4x

 

F'(x) = f(x) что и требовалось доказать