объясните пожалуйста как решать такие системы:

3x^2+2xy+y^2=18

-x^2+4xy+2y^2=15

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-08-27T10:54:38+00:00

В общем виде такие системы решать - сплошное неудовольствие, так как результатом является общее уравнение 4 степени, которе школьными методами не решается, лучше всего численно.

ОДНАКО, для школьников такие системы составители предлагают с определёнными упрощениями, "изюминками", которые школьники должны увидеть, обнаружить, то есть проявить свои творческие наклонности и знание предметной области. Причём какждая система достаточно индивидуальна и решается своими методами. Посмотрим на эту систему с этой точки зрения.

Видно, что в левой части стоят "поломанные" квадраты суммы, попробуем их выделить.

3x^2+2xy+y^2=2x^2+x^2+2xy+y^2=2x^2+(x+y)^2=18

-x^2+4xy+2y^2=-3x^2+2x^2+4xy+2y^2=-3x^2+2(x^2+2xy+y^2)=-3x^2+2(x+y)^2=15

Уже лучше.  Умножим первое уравнение на 2, получим систему

4x^2+2(x+y)^2=36

-3x^2+2(x+y)^2=15

Вычтем из 1 2

7x^2 = 21

x^2 = 3

x=+-sqrt(3)

Вот и всё, осталось найти у, например, из 1 уравнения

(х+y)^2=18-2x^2=18-2*3=12

(x+y)=+-2*sqrt(3)

y=+-2*sqrt(3)-x

Подставляя х, получим 4 решения

(sqrt(3),sqrt(3))

(sqrt(3),-3*sqrt(3))

(-sqrt(3),-sqrt(3))

(-sqrt(3),-sqrt(3))

Вот так просто всё получилось.

 

Можно было заметить ещё, что решения симметричные, то есть если (х,у) - решение, то (-х,-у) - тоже решение, и, следовательно, можно было найти только 2 разных решения, а остальные 2 получить по этой формуле. И т.д.

 

НО, повторюсь, каждая система такого типа решается по-своему, и единственный метод научиться их решать примитивен - нужно их решать как можно больше и тогда сразу будет всё видно.

Успехов.

Да, арифметику перепроверь, ну не силён я в арифметике, мог сделать ошибку.