Помогите, пожалуйста, решить:

Исследовать ряды на сходимость. Для степенного ряда найти область сходимости:


1)∑ = 1/ n*5^n

n-1


2)

∑ =((-1)^n)*n / 2^n* (n+1)

n-1



3)∑ = ((n²-5)/5^n)*(x-5)^n

n-3


1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-07-05T08:48:15+04:00

Необходимым условием сходимости ряда, но не достаточным, является стремление общего члена к нулю.

1) \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n5^n}

Как видим общий член при n -> ∞ стремится к нулю. Ряд у нас положительный, применим признак Даламбера (\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}| )

 

\lim_{n \to \infty} \frac{n5^n}{(n+1)5^{n+1}} = \frac{1}{5}<1

т.е. ряд сходится абсолютно

 

2) Ряд является знакочередующимся, применим признак Лейбница (Если члены знакочередующегося ряда убывают по модулю, то ряд сходится.)

\lim_{n \to \infty} |\frac{n}{2^n(n+1)}|=0

- ряд сходится. Исследуем также на абсолютную и условную сходимости (Сходящийся ∑a(n) называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей ∑|a(n)|, иначе — сходящимся условно.)

\sum_{n=1}^{\infty}|a_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}

воспользуемся признаком сравнения

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n(n+1)}<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}

ряд справа сходится, т.е. наш ряд сходится абсолютно.

 

3) \sum_{n=3}^{\infty}\frac{n^2-5}{5^n}*(x-5)^n

Воспользуемся признаком Даламбера

\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^2 - 5}{5^{n+1}}\frac{5^n}{n^2-5}|x-5|=\frac{1}{5}|x-5|

Наш ряд будет сходится, если ⅕|x-5|<1 ⇔ |x-5|<5 ⇔ -5<x-5<5 ⇔ 0<x<10

Остается исследовать сходимость на концах интервала:

a) x=0

   \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-5)^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(n^2-5)

ряд расходится

б) x=10

  \sum_{n=3}^{\infty}\frac{5^n(n^2-5)}{5^n}=\sum_{n=3}^{\infty}(n^2-5)

ряд расходится

Т.е. область сходимости ряда (0, 10)