Помогите пожааалуйста! а то не решается :( решите в натуральных числах уравнение 2^n+8n+5=k^2

1

Ответы и объяснения

2012-06-29T23:23:34+04:00

пусть n=1 тогда имеем уравнение

2^1+8*1+5=k^2

15=k^2, что не имеет решений

 

пусть n=2 тогда иммем уравнение

2^2+8*2+5=k^2

25=k^2

откуда k=5 (так как нас интересуют только натуральные решения)

получили пару (2;5)

 

далее, пусть n>2, n є N, k є N

левая часть при делении на 8 дает остаток 5 (2^n при n>2 дает остаток 0, 8n дает остаток 0 при делении на 8, ну а 5 при делении на 8 дает остаток 5, поєтому сумма 2^n+8n+5 дает остаток 0+0+5=5)

правая часть дает остаток либо 0 (числа вида 8m, 8m+4), 1 (8m+1; 8m+3; 8m+5; 8m+7), 4 (8m+2; 8m+6)

т.е. при n>2 левая и правая части уравнения дают разные остатки, а значит уравнение не имеет решений

 

ответ: (2;5)