Китайский математик Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке, предложил такую задачу.

Условие задачи:

Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот и идти на запад, то это же дерево можно будет увидеть, пройдя 900 шагов.

Вопрос:

Определить, скольким шагам равен поперечник города.

Дополнительное условие:

Просьба решать эту задачу без уравнений и алгебраических методов. Используем чистую геометрию. Заранее благодарен.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-06-24T15:04:03+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Сначала как раз про уравнения. Чтобы было понятно, в чем тут китайская хитрость.

Смотрите чертеж, левый рисунок. a = 900; b = 300; z = x/a; t = b/a;

В общем случае задача сводится к кубическому уравнению (раз просили - без уравнений, то и не буду я показывать, как это получается).

z^2*(z + t) = 4*t;

здесь по условию t = 1/3;

z^2*(z + 1/3) = 4/3; 

Невооруженным глазом видно, что уравнение имеет корень z = 1; если кому-то не лень - проверьте, что другие корни не вещественные.

(Есть и более важная задача - при каких целых t уравнение имеет целые корни.)

 

Вот теперь, зная наперед китайские хитрости, я "покажу", как "найти" это решение геометрически. (Сразу предупреждаю, что все дальнейшее - плод 15минутного размышления :))), набрать и нарисовать было дольше.)

1). Берем квадрат и на одной из сторон как на диаметре, построим полуокружность. Из вершины противоположной стороны проведем касательную, и продолжим её до пересечения с продолжением стороны. Очень просто показать, что все условия задачи (t = 1/3) выполнены (раз уж вы просили без, вычислений  я опять не привожу, но сразу говорю - они не выходят за рамки теоремы Пифагора). Таким образом, мы показали, что поперечник города равен 900. (ну, понятно же, если еще не сообразили - от северных ворот на юг откладываем 900, проводим перпендикуляр, точку соединяем с "точкой видимости", и получаем "еще одно дерево",  и "еще одину окружность". Но дерево только одно, поэтому полученная точка совпадает с южными воротами).

2). Есть и другой, не менее изящный геометрический способ "решения". Он основан на том приятном факте, что образованный треугольник - "египетский". (Здесь, между прочим, возникает уже совсем интересная задача - есть ли такие параметры t, дающие целочисленное решение, помимо тех, что приводят к Пифагоровым треугольникам. Впрочем, её решение очевидно отрицательное.)

В треугольнике со сторонами (3,4,5) разность между катетами составляет как раз 1/3 от меньшего катета. Но нужно еще доказать вот что - если на катете длины 4 "египетского" треугольника отложить от вершины прямого угла 3 и на этом отрезке, как на диаметре, построить окружность, то он коснется гипотенузы. Даказательство этого приведено на третьем рисунке и основано на подобии исходного треугольника и треугольника, "в который вписывается" построенная окружность, а также на том факте, что для "египетского" треугольника радиус вписанной окружности равен 1. Легко видеть, что поперечник города х равен диаметру окружности, вписанной в "египетский" треугольник "в масштабе 3/2", то есть 3. Поэтому вписаная в достроенный треугольник AB'C' окружность совпадает с городской стеной.

(Можно и "дедовскими" способами. Центр этой окружности лежит на расстоянии 3/2 от точки В, то есть на расстоянии 4 - 3/2 = 5/2 от точки С, и вместе с расстоянием до АС и отрезком АС от С до точки касания, образует треугольник, подобный "египетскому", то есть его стороны (3/2, 2, 5/2). Легко видеть, что расстояние от центра до АС как раз равно радиусу 3/2.)

Вот собственно и всё. Хитрый китаец Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке (с ума сойти, что знали уже тогда хитрые китайцы), просто отмерил вглубь города от южных ворот утроенное расстояние от точки видимости до этих ворот, тот есть 900 шагов, и попал на северные ворота по только что доказанному свойству "египетского" треугольника. 


А вот уже настоящий вопрос. Почему я все слова "решение", "доказательство" и прочее, беру в кавычки? Да потому, что все это - не что иное, как способ подбора решения с последующим геометрическим обоснованием. Конечно, от этого такие решения не становятся не верными. Но в них есть один существенный изъян, который невозможно преодолеть "чисто геометрически". Это - единственность решения. Её доказать не получится таким способом. Только алгебраически. Если вам скажут, что такой способ есть - можете умно покивать головой и посмеяться про себя :))) (если вы - воспитаный человек, конечно, для невоспитаных  я рецептов не даю :))