Объясните пожалуйста,как делать

1)Решить уравнение

2^{5x+6}-7^{5x+2}-2^{5x+3}-7^{5x+1}=0

2)Решить неравенство

(x+\frac{1}{2})^{x^{2}-\frac{1}{4}}>1

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-06-23T17:24:16+04:00

1. Сразу в глаза бросается одно и то же 2^5x и 7^5х, за это и зацепимся. Чтобы убрать "пелену" из задачки, сделаем вот что. Разделим всё равенство на 7^5х(Это можно сделать, так как оно #0, если нравится, раздели всё на 2^5x, это без разницы) и введём новую переменную(сделаем подстановку) у=(2/7)^5x.

Получим

64*у - 49 - 8*у - 7 =0

 Всё! пелены нет! Это же примитивное линейное уравнение, которое решит первоклассник!

56у = 56

у=1

(2/7)^(5x) = 1, поэтому, естественно, 5х=0, а значит и х=0. Вот и всё.

 

2. Здесь несколько тоньше, но не сложнее. Особенность в том, что основание и показатель содержат переменную, а, как известно, показательные функции ведут себя существенно различно при разных основаниях(>1, <1). поэтому небходимо рассматривать ОБА случая.

На всякий случай напомню, что y=a^x функция возрастающая при a>1 и убывающая при 0<a<1. Ну а 1 она равна, естественно, при x=0(см предыдущую задачку).

Теперь начнём.

1 случай . Основание >1

(х+0.5)>1                  это основание

(х+0.5)(х-0,5)>0        это показатель уже разложенный на множители.

 

Откуда

(х-0,5)>0, ну и, конечно, х>0.5

 

2 случай. Основание от 0 до 1

0<(x-0.5)<1               это основание

(х-0.5)(х+0.5)<0        это показатель (функция убывающая, поэтому всё наоборот) 

 

0.5 < x < 1.5

        x < -0.5             Видно, что эта система решений не имеет!

 

Итак, ответ x > 0.5

 

Замечание. Конкретное неравенство имеет особенную связь основания и показателя и если её увидеть и знать свойства функции у=х^х можно несколько упростить(упростить ли?) решение. Я дал ОБЩИЙ алгоритм решения подобных неравенств. Пользуйся им, будь внимателен в арифметике и никаких проблем у тебя в дальнейшем не должно возникнуть.