Исследовать средствами дифференциального исчисления функцию y=f(x)

и построить ее график.

f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)

График можно не строить, главное расписать какие точки брать.

Заранее спасибо!

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-06-22T10:35:33+04:00

1) Найдем нулю нашей функции. Для чего разложим на множители формулу, которой она задана, с помощью введения новых вспомогательных членов.

    f(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-4x^{2}-4x^{2}+4x+x+16-2)= =\frac{1}{3}((x^{3}-4x^{2}+4x)-(4x^{2}-16)+(x-2))= =\frac{1}{3}[x(x-2)^{2}-4(x-2)(x+2)+(x-2)]= =\frac{1}{3}(x-2)(x(x-2)-4(x+2)+1)=\frac{1}{3}(x-2)(x^{2}-6x-7) 

 Из f(x)=0 следует:

    а)  x-2=0, отсюда x_{1}=2 - нуль функции

    б) x^{2}-6x-7=0, D=(-6)^{2}-4*(-7)=36+28=64, отсюда

   x_{2}=\frac{6+8}{2}=7, x_{3}=\frac{6-8}{2}=-1 - нули функции

 

Итак, функция f(x) обращается в нуль в точках x_{1}, x_{2} и x_{3} 

 

2) Найдем возможные точки экстремума нашей функции. Для чего найдем производную функции f(x):

 f^{'}(x)=\frac{1}{3}(x^{3}-8x^{2}+5x+14)^{'}_{x}=\frac{1}{3}(3x^{2}-16x+5)-----(1) 

  Разложим квадратный трехчлен, стоящий в правой части (1), на целые множители. Для чего найдем дискриминант этого квадратного трехчлена:     

   D=256-12*5=256-60=196=14^{2}, отсюда найдем корни:

     x^{'}_{1}=\frac{16+14}{6}=5

    x^{'}_{2}=\frac{16-14}{6}=\frac{1}{3}  ---------(2)

Тогда с (2) выражение (1) примет вид: 

 f^{'}(x)=\frac{1}{3}*3*(x-5)(x-\frac{1}{3})----------(3)

  C помощью метода интервалов найдем промежутки, на которых производная функции f(x) принимает положительные и отрицательные значения:

   

а) f^{'}(x)>0  при x принадлежащем объединению промежутков

  (-бесконечности; 1/3)U(5; +бесконечности ) 

б) f^{'}(x)<0  при x принадлежащем промежутку (1/3; 5)

 

Известно, что промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции!

На промежутках, где f^{'}(x)<0, функция убывает!       

  

Поскольку при переходе через точку x=1/3 производная меняет знак с плюса на минус, то эта точка - точка максимума

 Поскольку при переходе через точку x=5 производная меняет знак с минуса на плюс, то эта точка - точка минимума. Итак,

      x_{max}=\frac{1}{3} 

       x_{min}=5