Найти общее решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x) и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям y=y_{0}, y'=y'_{0} при x=0.

y''-4y'+3y=3e^{2x}; y_{0}=2, y'_{0}=-1

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-06-21T09:41:25+00:00

Сначала решим общее однородное уравнение:

y''-4y'+3y=0

Для этого составим характеристическое уравнение:

\lambda^2-4\lambda+3=0 

Находим корни, получаем: 

\lambda_1=1, \lambda_2=3 

 Тогда общее решение однородного уравнения запишется как:

 y(x)=C_1e^{\lambda_{1}x}+C_2e^{\lambda_{2}x}=C_1e^{x}+C_2e^{3x}

 

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.

Попробуем подобрать его, вообще тут видно, что частное решение этого уравнения будет y(x)=-3e^{2x} 

 

Если такой вариант нахождения частного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам: 

для этого воспользуемся методом вариации постоянной, дл это представим C1 и С2 как функции от х  и решим все по формуле:

\left \{ {{C'_{1}(x)e^x+C'_{2}(x)e^3x=0} \atop {C'_{1}(x)e^x+3C'_{2}(x)e^3x=3e^{2x}}} \right. 

Разделим первое и второе уравнениея на e^x , выразим из 1го уравнения C'_{1}(x) получим  C'_1(x)=-C'_2(x)e^{2x}

Теперь подставим это во второе уравнение и получим, после всех сокращений:

 

C'_2(x)=\frac{1}{2}, C_2(x)=\frac{x}{2}  Теперь найдем C1(x)

 

C'_1(x)=-\frac{1}{2}e^{2x}, C_1(x)=-\frac{1}{4}e^{2x} 

Подставляем найденные C1 и C2 и получаем:

 Частное решение в виде:

 

\frac{x}{2}e^x-\frac{e^{2x}}{4}e^{3x} 

 Теперь найдем общее решение:

Y(x)=общее решение однородного уравнения+частное решение неоднородного уравнения 

 

 Я думаю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, потому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, поэтому:

Y(x)=C_1e^x+C_2e^{3x}-3e^{2x} (1)

 Теперь решаем задачу Коши:

Она заключается в нахождении C1 и C2

Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0)=2)

2=C_1+C_2-3, C_1+C_2=5, C_1=5-C_2

Теперь возьмем производную и подставим в нее вместо x ноль, а вместо y -1

 Y'(x)=e^x(C_1+3e^x(C_2e^x-2))

 -1=(C_1+3(C_2-2))=C_1+3C2-6=-1, C1+3C2=5

Получили систему уравнение:

 \left \{ {{C_1=5-C_2} \atop { C1+3C2=5}} \right

Отсюда C2=0, C1=5.

Теперь запишем ответ:

ОТВЕТ:   Y(x)=5e^x-3e^{2x}