Из круглого листа вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости

1

Ответы и объяснения

2012-06-21T00:00:31+00:00

Пусть x - длина дуги, ограничивающей искомый сектор, вырезаемый из круглого листа.

Пусть l - радиус круглого листа и одновременно образующая конуса (воронки). 

Тогда радианная мера дуги \alpha, ограничивающей искомый сектор равна:

        \alpha=\frac{x}{l} ---------(1)

 Нам необходимо найти при каком x объем воронки (правильного конуса)

будет наибольшим. Запишем формулу объема V конуса:

      V=\frac{\pi*R^{2}*h}{3} --------(2)

где R - радиус основания конуса; h - высота конуса 

Поскольку длина окружности основания конуса равна x, то отсюда

             R=\frac{x}{2\pi}--------(3)

Высоту конуса найдем с помощью теоремы Пифагора:

          h=\sqrt{l^{2}-R^{2}}-------(4)

Подставим в (4) вместо R выражение (3):

 

         h=\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}--------(5)

 

Подставим в (2) вместо R и h соотвественно выражения (3) и (5), получим:

      V=A*x^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}--------(6)

   где A=\frac{1}{12\pi} 

  Очевидно, что естественной областью определения объема как функции от x есть интервал:

        0<x<2\pi*l ------(7)

 Продифференцируем (6) по x:

  V^{'}_{x}=A(2x\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}-\frac{x^{3}}{4{\pi}^{2}\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}}), отсюда

   V^{'}_{x}=\frac{Ax\sqrt{l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2}}(8{\pi}^{2}l^{2}-3x^{2})}{4{\pi}^{2}(l^{2}-(\frac{x}{2\pi})^{2})} --------(8)

Чтобы функция (6) имела на естественной области ее определения максимум или минимум, необходимо чтобы V^{'}_{x}=0--------(9)

Тогда из (8) и (9) получим:

        8{\pi}^2-3x^{2}=0, отсюда с учетом, что x>0, найдем критическую точку:

       x_{o}=\pi*l*\sqrt{\frac{8}{3}}, или

        x_{o}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3} 

  Поскольку естественной области определения (7)  принадлежит только одна критическая точка x_{o}  и поскольку на естественной области определения функция (6) принимает только положительные значения, то критическая точка x_{o} - точка максимума функции (6). Другими словами, при x_{o} объем воронки будет наибольшим.

Теперь мы можем найти радианную меру искомого сектора, для чего подставим в (1) вместо x критическую точку x_{o}:

    \alpha=\frac{x_{o}}{l}=\frac{2{\pi}l\sqrt{6}}{3l}=\frac{2{\pi}\sqrt{6}}{3}