Системаааа

помогите

решить

спасибо

файл внутри

не проходите мимо

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-06-20T15:05:47+04:00

Делим второе уравнение на ху, получаем:

x^2+y^2=\frac{10}{xy} Мы можем это сделать т.к x=0, y=0 не удовлетворяет нашей системе.

Итак, получаем:

\begin{cases} x^2+y^2=5\\x^2+y^2=\frac{10}{xy} \end{cases}

отсюда следует что:

 \frac{10}{xy}=5 или xy=2 или x=\frac{2}{y}

Подставим в первое уравнение системы и получим:

\frac{4}{y^2}+y^2=5 

 Домножаем на y^2 получаем:

4+y^4=5y^2  делаем замену t=y^2

Получили:

t^2-5t+4=0 

Решаем квадратное уравнение находим D

D=25-4*4=9 

Найдем  корни:

t_1=\frac{5-\sqrt{9}}{2}=1 

tex]t_1=\frac{5+\sqrt{9}}{2}=4[/tex]   

Теперь вернемся к исходному уравнению:

Получим два уравнения для нахождения корней:

y^2=1  и y^2=4

Отсюда получаем 4 корня:

y1=-1, y2=1, y3=-2, y4=2

Вспомнили, что x=\frac{2}{y} 

И получаем следующие корни:

x1=-2, x2=2, x3=-1, x4=1

Ответ: Система имеет следующие решения:

(-2, -1), (2,1), (-1,-2), (1,2) 

  • Участник Знаний
2012-06-20T22:37:32+04:00

Поработаем со вторым уравнением системы, вынесу за скобки общий множитель xy:

 x² + y² = 5

 xy(x²+y²) = 10

Теперь видим, что у нас получилось в первом и втором уравнениях выражение для замены(x²+y²). Пусть (x + y) = a, а xy = b. Это даёт ключ к решению системы. Выразим x²+y² через x + y:

(x+y)² = x² + 2xy + y²

С учётом замены:

x² + 2b + y², (x+y)² = x² + 2b + y², откуда

x² + y² = (x+y)² - 2b

x² + y² = a² - 2b

Сделаем эту подстановку в систему:

  a² - 2b = 5

  b(a²-2b) = 10

Мы получили систему более низкой степени. Решу её способом подстановки:

   a² - 2b = 5               b = 2              

   5b = 10                    a² = 9.   Эта система распадается ещё на две.

 

      b=2                        или               b = 2

      a = 3                                          a = -3

Теперь мы знаем, что a = (x+y), b = xy. Произведу обратную замену и решу ещё две системы:(решаю методом подстановки)

     x + y = 3                           и                       x + y = -3

     xy = 2                                                       xy = 2

Решу первую систему:

     y = 3 - x

     x(3-x) = 2 (1)

(1) 3x - x² = 2

      x² - 3x + 2 = 0

      x1 = 2;x2 = 1

Таким образом, эта система распадается на:

 

      x = 2                                и                     x = 1

      y = 3-2 = 1                                              y = 2          это у нас первые две пары решений.

 

Теперь также решу вторую систему:

 

x+y = -3                  y = -3 - x

xy = 2                     x(-3-x) = 2   (2)

 

(2) -3x - x² = 2

      x²+3x + 2 = 0

      данное уравнение не имеет решение, следовательно, и вся система не имеет решение.

 

таким образом, мы пришли к ответу:

(2;1); (1;2)

 

 Замечу, что решить эту столь сложную систему можно было бы проще, если после вынесения xy за скобки разделить второе уравнение на первое. получилась бы система:

 

xy = 2

x² + y² = 5

которая решается такой же подстановкой(как видим, от столь громоздких преобразований всё равно не уйти).