У трехгранного угла два плоских угла равны по 60 градусов, а третий угол прямой. Доказать что угол между плоскостью прямого угла и противоположным ребром равен 45 градусов

1

Ответы и объяснения

2012-06-20T19:10:25+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Проще всего решить эту задачу "с конца". В какой-то точке пространства проведем три взаимно перпендикулярные прямые, то есть координатные оси. На этих осях выберем точки с координатами A(1,0,0) B(-1,0,0) C(0,1,0) D(0,0,1). Легко видеть, что AC = CD = DA = CB = DB; поэтому треугольники ACD и BCD равносторонние, и углы между СD и CA, а также CD и CB равны 60 градусов. Так же очевидно, угол ВСА = 90 градусов. То есть трехгранный угол С как раз такой, какой задан в задаче. 

Осталось заметить, что CD составляет угол 45 градусов с плоскостью XY (то есть плоскостью АВС). В самом деле, СОD - прямоугольный равнобедренный треугольник, что и требовалось доказать.

 

А есть еще такое "веселое" решение (смотри чертеж). Возьмем обычный куб, выберем любую вершину (ну, В, например), и проведем сечение через концы ребер, выходящих из этой вершины (через А С и В1). Такое сечение - равносторонний треугольник АСВ1 (АС = СВ1 = АВ1), то есть угол АСВ1 = 60 градусов. Получилась пирамида АВ1СВ. Я возьму еще одну точно такую же пирамиду (на чертеже МСВВ1), и приставлю к этой так, чтобы получился нужный трехграный угол (на чертеже это угол, образованный лучами AC, B1C и MC - ясно, что угол АСМ = 90 градусов). При таком подходе вопрос в задаче - это даже не вопрос, а так, сотрясение воздуха :))) Угол В1СВ по построению 45 градусов.