Дано комплексное число z = 3/2 - sqrt(3)/2*i 1) найти z + z(с чертой над z) , z * z(с чертой над z), z/z(с чертой над z). 2) Записать z в тригонометрической форме, вычислить z^4, и корень квадратный в 4й степени z

1

Ответы и объяснения

2012-06-21T10:42:58+04:00

Дано комплексное число z в алгебраической форм:

   z=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i--------(1)

   где i^{2}=-1  по определению

Тогда z^{*} комплексно-сопряженное числу комплексному числу z:

          z^{*}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i-------(2)

 ( z^{*} то же что у вас z с чертой!) 

а)  

   z+z^{*}=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i+\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=

     =\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3 

   

zz^{*}=(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)=

    =[\frac{3}{2}]^{2}-[\frac{\sqrt{3}}{2}]^{2}*i^{2}=\frac{9}{4}+\frac{3}{4}=3 

 

 \frac{z}{z^{*}}=\frac{(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i)}{(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i)}=\frac{3-\sqrt{3}i}{3+\sqrt{3}i}=\frac{(3-\sqrt{3}i)^{2}}{(3+\sqrt{3}i)(3-\sqrt{3}i)}=\frac{9-6\sqrt{3}i+3i^{2}}{9-3i^{2}}=\frac{6-6\sqrt{3}i}{12}=

  =\frac{6}{12}-\frac{6\sqrt{3}}{12}i=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i 

 

б)  Запишем наше комплексное число z в тригонометрической форме:

   z=r(cos\phi+isin\phi)--------(1)

где r модуль комплексного числа z   

В нашем случае 

r=\sqrt{(\frac{3}{2})^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{3}---------(2) 

Итак, число z в тригонометрической форме с учетом (1) и (2):

      z=\sqrt{3}(cos\phi+i*sin\phi)

Для нахождения четвертой степени числа z применим формулу Муавра при n=4:

  z^{4}=(\sqrt{3})^{4}(cos4\phi+i*sin4\phi)=9(cos4\phi+i*sin4\phi)( 

 

Известно, что корень n-й степени из комплексного значения имеет n различных значений. В нашем случае нужно найти корень 2-й степени, а значит корень 2-й принимает два различных значения.

 \sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos\frac{4\phi+2k\pi}{2}+i*sin\frac{4\phi+2k\pi}{2})

 при k=0; 1

 

\sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos2\phi+i*sin2\phi) при k=0

\sqrt{z^{4}}=\sqrt{9}(cos3\phi+i*sin3\phi) при k=1