Ответы и объяснения

2012-06-19T06:11:48+04:00

Перейдем в исходном уравнении от корней  к степеням с дробным показателем, тогда уравнение примет вид:

(x*x^{\frac{1}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x*x^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{5}}=56

 

В получившемся уравнении перемножим степени в скобках как степени с одинаковым основанием, получим в результате равносильное уравнение:

     (x^{\frac{6}{5}})^{\frac{1}{2}}-(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{5}}=56 

 

Отсюда по свойству степеней получим равносильное уравнение, применив свойство степень в степени:

   x^{\frac{3}{5}}-(x^{\frac{3}{5}})^{\frac{1}{2}}=56 

Сделаем замену  в последнем уравнении:    y=x^{\frac{3}{5}} 

 Тогда последнее уравнении примет вид:

      y-56=\sqrt{y} -------(1)

 

Замечаем, что новая неизвестная y должна удовлетворять условию:

      y>56--------(2)  что следует из уравнения (1)

 Возведем обе части уравнения в квадрат, после приведя подобные, получим квадратное уравнение:

          y^{2}-113y+56^{2}=0 

Для нахождения корней квадратного уравнения воспользуемся теоремой Виета:

         y_{1}+y_{2}=113

            y_{1}*y_{2}=56^{2}=(8*7)^{2}=64*49 

Отсюда получим искомые корни:

        y_{1}=64, y_{2}=49

При этом корень y_{2} посторонний, поскольку не удовлетворяет не равенству (2). Таким образом, исходное уравнение имеет один корень:

   Вернем к старой неизвестной, получим:

        

 y_{1}=x^{\frac{3}{5}}=64=4^{3}, отсюда x^{\frac{1}{5}}=4

     x=4^{5}=1024 

 

Ответ: x=1024