Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-06-18T16:00:10+04:00

Такие примеры решаются следующим спосоом. Исходное выражение записывается в виде F(a+alfa), где alfa некоторое МАЛЕНЬКОЕ число, затем по каким-то формулам преобразуется по точным формулам. В получившемся выражении отбрасываются члены с высокими степенями Alfa, (так как она маленька, то её вкадрат, куб и тд будут очень маленькими и ими можно пренебречь) и получается приближенная формула.

В нашем примере

(а+Alfa)^3= a^3 + 3*a^2*Alfa + 3*a*Alfa^2 + Alfa^3.

Если отбросить Alfa^3, получим  приближенную формулу 1

(a+Alfa)^3 = a^3 + 3*a^2*Alfa + 3*a*Alfa^2= a^3 + 3*a*Alfa*(a+Alfa) 

 

Членов с просто Alfa^2 нет, поэтому этим методом мы не можем получить более простой приближенной формулы, хотя попробуем с более точным анализом. Отбросим член с Alfa^2. Этот член имеет вид 3*a*Alfa^2 и его отбрасывать можно, только если он много меньше 1, то есть 3*a*Alfa^2<<1, откуда Alfa^2<<1/(3*a). Только при этом условии формулу можно применять. Получим приближенную формулу 2

(a+Alfa)^3 = a^3 + 3*a^2*Alfa  =a^2*(a+3*Alfa)

Гулять, так гулять! Отбросим член с Alfa. Это можно сделать, только если 3*a^2*Alfa<<1, получим приближенную формулу 3

 (a+Alfa)^3 = a^3

 

Подсчитаем по этим формулам точное и приближенные значения

1. Точное значение

(3.02)^3 = 27.543608

2. По  приближенной формуле 1

(3+0.02)^3=9 +9*0,02*3,02=27.5436

3. Проверим, можно ли применять формулу 2.

Alfa^2=0.0004,     1/(3*a)=1/9=0.11111.    Можно!!!

(3+0.02)^3=9*3.06=27.54

Видно, что точность достаточно высокая.

4. Проверим, можно ли применить формулу 3

3*a*a*Alfa=3*9*0.02=0.54. Нельзя сказать, что это <<1, поэтому формулу 3 применять рискованно, она дает большую погрешность. Однако, если бы нужно было бы найти, например (3.0002)^3, эту формулу 3 МОЖНО было бы применить и с достаточно высокой точностью сказать, что получится 27.

Еще раз повторю, что ПЕРЕД применением этих формул нужно всегда проверять, можно ли применять ту или иную приближенную формулу, потому, что это может привести к большим погрешностям.