Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-06-18T04:21:01+04:00

1) Вычислить интеграл:

а) \int\limits^{1}_{-3} {3x^2} \, dx=3\int\limits^{1}_{-3} {x^2} \, dx=\frac{3x^3}{3}|^ {1}_{-3}=(1^3-(-3)^3)=1+27=28

б) \int\limits^{2}_{1} {\frac{1}{x^3}} \, dx=\int\limits^{2}_{1} {x^{-3}} \, dx=\frac{1}{-3+1}x^{-3+1} |^2_1=-\frac{1}{2}(2^{-2}-1^{-2})=\frac{3}{8} 

 в) \int\limits^{e}_{1} {\frac{3}{x}} \, dx=3ln(x)|\limits^{e}_{1}=3(ln(e)-ln(1))=3(1-0)=3

г) \int\limits^{1}_{0} {e^x} \, dx=e^x|\limits^{1}_{0}=e^1-e^0=e-1 

д) \int\limits^{2\pi}_{-\pi} {cosx} \, dx=sinx|\limits^{2\pi}_{-\pi}=sin(2\pi)-sin(-\pi)=0-0=0 

е) \int\limits^{0}_{-3\pi} {cos3x} \, dx=\frac{1}{3}\int\limits^{0}_{-3\pi} {cos3x} \, d(3x)=\frac{sin3x}{3}|\limits^{0}_{-3\pi}=\frac{sin0-sin(-3\pi)}{3}=0

ж) \int\limits^{3}_{-1} {(4x-1)} \, dx=4\int\limits^{3}_{-1} {x} \, dx-\int\limits^{3}_{-1} \,dx=\frac{4x^2}{2}|\limits^{3}_{-1}-x|\limits^{3}_{-1}=16-4=12

з) \int\limits^{1}_{1} {(x^2+1)} \, dx=F(x)|\limits^{1}_{1}=F(1)-F(1)=0 

 где F(x) - первообразная подынтегральной функции

2) Найти площадь плоской фигуры:

а)  S=\int\limits^{2}_{1} {(4-x^2)} \, dx=(4x-\frac{x^3}{3})|\limits^{2}_{1}=(8-\frac{8}{3})-(4-\frac{1}{3})=4-\frac{7}{3}=1\frac{1}{3}

б)  S=\int\limits^{2}_{0} {\sqrt{x+2}} \, dx=\frac{(x+2)^{0,5+1}}{0,5+1}|\limits^{2}_{0}=\frac{2}{3}(4^{3/2}-2^{3/2})=\frac{4(4-\sqrt{2})}{3}