А(2;5) В(3;3) С(-1;4), в треугольнике АВС найти длину медианы, проведенной из вершины А, периметр и площадь треугольника АВС, а так же углы?

1

Ответы и объяснения

  • Участник Знаний
2012-06-14T18:01:23+00:00

1)периметр треугольника равен AB + BC + AC. Нам надо найти длину каждой стороны по координатам их концов. Длина отрезка по координатам его концов рассчитывается по формуле

       d = √((x2-x1)²+(y2-y1)²), где d - расчитываемый отрезок, x1,x2 - абсциссы начала и конца отрезка, y1,y2 - ординаты начала и конца отрезка.

Подставляя в эту формулу абсциисы и ординаты точек из условия, последовательно нахожу каждую сторону:

AB = √((3-2)²+(3-5)²) = √(1+(-2)² = √(1+4) = √5

BC = √((-1-3)²+(4-3)²) = √((-4)²+1) = √(16+1) = √17

AC = √((-1-2)²+(4-5)²) = √(9+1 = √10

Тогда периметр равен √5 + √17 + √10

2)Далее, найду медиану AM. Можно пойти разными путями, но найду её длину методом координат.

Мы знаем, что в этом случае M - середина BC. Нам надо найти координаты точки M, иначе говоря, нам надо найти координаты середины отрезка. Далее, координаты точки A нам известны, значит, можно под первую формулу подогнать. Итак, как же вычислить координаты середины отрезка? Это можно сделать по формуле

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2, где x,y - координаты середины отрезка, x1,x2 - абсциссы концов отрезка, y1,y2 - ординаты концов отрезка. Подставляем исходные координаты в формулу и получаем

x = (3-1)/2 = 2/2 = 1; y = (3+4)/2 = 7/2 = 3.5

Значит, M(1;3.5), A(2;5)

Теперь найдём длину AM по нашей старой формуле:

AM = √(1-2)²+(3.5 - 5)² = √1+2.25 = √3.25

 

3)Теперь вычислю углы треугольника. Давайте подумаем, как их найти. Я вижу, что нам даны три стороны треугольника(точнее, мы их нашли). Так что, вполне вероятно, что здесь надо воспользоваться теоремой косинусов.(квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними). математически её можно записать так:

a² = b² + c² - 2bc cos <α

отсюда выразим cos <α

cos <α = (b²+c²-a²)/2bc

Мы должны записать теперь эту теорему для нашего треугольника. При этом мы должны её записать так, чтобы искомый угол оказался самым большим в треугольнике.(то есть запишем теорему для большей стороны треугольника). проанализируя сороны, получим:

BC² = AB² + AC² - 2*AB*AC * cos <A.

cos <A = (AB²+AC²-BC²) / 2 * AB * AC

Подставив стороны в это уравнение, получим косинус угла A:

cos <A = (5 + 10 - 17) / 2√50 = -2 / 2√50

Вычислю это выражение с помощью калькулятора приближённо, затем полученный косинус посмотрю в таблице Брадиса, и найду приближенное значение угла.

-2 / 14.142135 ≈ -0.1414 - данный косинус существует. Обращу внимание также на то, что поскольку cos<0, то <A - тупой.