Две окружности радиуса R с центрами О1 и О2 касаются друг друга. Их пересекает прямая в точках A, B, C и D так, что AB=BC=CD. Найти площадь четырехугольника O1ADO2.

1

Ответы и объяснения

2012-06-06T12:32:14+00:00

Соединим центры окружостей последовательно с А, В, С и D (cм. рисунок).
Получим 5 треугольников. 
Поскольку АВ=ВС=СD, отрезки АВ и СD отсекают от окружностей равные дуги
Потому центральные углы при них равны. Расстояния от центров окружности до прямой АD равны, как расстояние от центра до равных хорд. 
=> АD и ОО параллельны. По свойству параллельных прямых все углы в полученных 5 треугольниках равны. Треугольники равносторонние. 
Площадь равностороннего треугольника, выраженного через его сторону, равна
S=(а²√3):4.
Треугольников таких в данном четырехугольника 5, а сторона их равна радиусу. 
Искомая площадь равна
S=(5R²√3):4