Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • Участник Знаний
2012-06-05T23:41:53+04:00

1) \lim_{n \to \infty} {n[ln(n+1)-ln(n)]}=\lim_{n \to \infty}{n[ln(n(1 + \frac{1}{n})-ln(n))]}

\lim_{n \to \infty}{n[ln(n(1 + \frac{1}{n})-ln(n))]}=\lim_{n \to \infty}{n[ln(n) + ln(1 + \frac{1}{n})-ln(n))]}

\lim_{n \to \infty}{n[ln(n) + ln(1 + \frac{1}{n})-ln(n))]}=\lim_{n \to \infty}{n[ln(1 + \frac{1}{n})]}

\lim_{n \to \infty}{n[ln(1 + \frac{1}{n})]}=\lim_{n \to \infty}{[ln(1 + \frac{1}{n})^n]} = \lim_{n \to \infty}[lne] = 1

Здесь нужно использовать второй замечательный предел

\lim_{n \to \infty}{ln(1 + \frac{1}{n})^n} = e

 

2) \lim_{x \to +\infty}{\frac{\sqrt{x^2-3}}{\sqrt[3]{x^3+1}}}= \lim_{x \to +\infty}{\frac{x\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}}{x\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}}}=\lim_{x \to +\infty}{\frac{\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{x^3}}}}=1

 

3) \lim_{\alpha \to \infty}{\frac{ln(1+e^\alpha)}{\alpha}}=\lim_{\alpha \to \infty}{\frac{lne^\alpha(1+\frac{1}{e^\alpha})}{\alpha}}=\lim_{\alpha \to \infty}{\frac{ln(e^\alpha)+ln(1+\frac{1}{e^\alpha})}{\alpha}}

\lim_{\alpha \to \infty}{\frac{ln(e^\alpha)+ln(1+\frac{1}{e^\alpha})}{\alpha}}=\lim_{\alpha \to \infty}{\frac{\alpha*ln(e)}{\alpha}}=1