Вычислить значение G(2011),если функция имеет вид G(n)=tg15*tg45*tg75*...*tg(15+30n)

1

Ответы и объяснения

2012-06-05T13:14:58+00:00

G(n)=tg15*tg45*tg75*...*tg(15+30n)=

tg15*tg45*tg75*tg105*tg135*tg165*tg 195...*tg(15+30n)

  tg 15=tg 195=...=tg (15+180k)=tg (15+30* 6m)=tg 15

tg 45=...=tg (45+180k)=tg (15+ 30*(6m+1))=1

tg 75=...=tg (75+180k)=tg(15+30*(6m+2))=tg (90-15)=ctg 15

tg 105=...=tg(105+180k)=tg(15+30*(6m+3))=tg (90+15)=-ctg 15

tg 135=...=tg (135+180k)=tg(15+30*(6m+4))=-1

tg 165=...=tg (165+180k)=tg (15+30*(6m+5))=tg (180-15)=- tg 15

 

\\\tg 15 *ctg 15=1

(-ctg 15)*(-tg 15)=1

tg 15*tg 45*tg 75*tg 105*tg 135*tg 165=1*1*(-1)*1=1  

-1*(-1)=1

 

G(1)=tg 15

G(2)=tg 15*tg 45=tg 15 *1=tg 15

G(3)=tg 15*tg 45* tg 75=1*1=1

G(4)=1*tg 105=-ctg 15

G(5)=-ctg 15*tg 135=ctg 15

G(6)=ctg 15 * tg 15=-1

G(7)=-1*tg 15=-tg 15

 

как видно с приведенных соображений данная функция G(n) периодична с периодом 12

G(n+12)=G(n); G(2011)=G(2004)=...=G(2004+7)=G(167*12+1)=G(7)=-tg 15=

=корень(3)-2

 

tg (a/2)=sin a/(1+cos a)

tg 15=tg (30/2)=sin 30/ (1+cos 30)=1/2/ (1+корень(3)/2)=1/(2+корень(3))=

=2-корень(3)