Ответы и объяснения

2012-05-22T14:44:09+04:00

1)

f(x)=100x^{10}-10x^{100}

f'(x)=1000x^{9}-1000x^{99}=1000(x^{9}-x^{99})

f'(1)=1000(1^{9}-1^{99})=0

 

2)

f(x)=x^2-3x+1

f'(x)=2x-3

f'(x)=0, 2x-3=0, x=1,5

f'(x)>0, 2x-3>0, x>1,5

f'(x)=0, 2x-3<0, x<1,5

 

f(x)=\frac{x-3}{2x+5}

 

f'(x)=\frac{(x-3)'(2x+5)-(x-3)(2x+5)'}{(2x+5)^2}=\frac{2x+5-2(x-3)}{(2x+5)^2}=\frac{2x+5-2x+6}{(2x+5)^2}=\frac{11}{(2x+5)^2}

 

f'(x)=0, \frac{11}{(2x+5)^2}=0, нет решений

 

f'(x)>0, \frac{11}{(2x+5)^2}>02x+5≠0, x≠-2,5, x∈(-∞;-2,5)U(2,5;+∞)

 

f'(x)<0, \frac{11}{(2x+5)^2}<0нет решений

 

3)

f(x)=3x-4x^3

f'(x)=3-12x^2

f'(1)=3-12\cdot1^2=-9

f'(5)=3-12\cdot5^2=3-12\cdot25=-472

f'(x+2)=3-12(x+2)^2=3-12(x^2+4x+4)=3-12x^2-48x-48=-12x^2-48x-45

 

4)

f(x)=x^5-2\sqrt{x}

f'(x)=5x^4-2\frac{1}{2\sqrt{x}}=5x^4-\frac{1}{\sqrt{x}}

 

f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}

 

f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x^2+1)-(x^2-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{2x(x^2+1)-2x(x^2-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{2x(x^2+1-x^2+1)}{(x^2+1)^2}=\frac{4x}{(x^2+1)^2}