Треугольник MNK равносторонний со стороной 18 см. Точка С удалена от вершин треугольника MNK на 12 см. Найдите расстояние от точки С до плоскости MNK

1

Ответы и объяснения

2012-05-21T14:09:51+00:00

Строим перпендикуляр СО из точки С к плоскости треугольника (его длину нам и нужно найти) 
Отрезки ОK, ОM и ОN являются проекциями отрезков СК, СМ и CN на плоскость треугольника. Так как равны сами отрезки (по условию 12 см), то равны и их проекции ОK, ОM и ОN ( по теореме Пифагора): 
OK^2 = CK^2 - CO^2 = 12 - CO^2 
OM^2 = 12 - CO^2 
ON^2 = 12 - CO^2. 

Получается, что равны и равнобедренные треугольники, на которые поделен треугольник MNK. (MOK, NOM, KON равны по равенству трех сторон) 
Треугольники равны, следовательно, равны углы KMO = OMN = MNO = оNK = NKO = OKM 
Это значит, что точка O лежит на пересечении биссектрис. В равностороннем треугольнике -- это по совместительству точка пересечения медиан и высот. Как известно, медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1 от угла. Нарисуем медиану KP. Переходим непосредственно к вычислению. 
Медиана KP = KM * sin(60) = 18 * sqrt(3)/2 = 9*sqrt(3) 
KO = KP * 2/3 = 6 * sqrt(3) (т.к. медианы делятся точкой пересечения) 
И, наконец, по теореме Пифагора:
CO^2 = CK^2 - KO^2 = 12^2 - 36*3 = 36 
CO = 6 (см) 
Ответ: верен ответ номер 2