Докажите, что если каждое из двух чисел представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел, то их произведение также можно представить в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-05-16T09:35:52+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

 Есть очень известная теорема  Ферма-Эйлера, вот её формулировка:

 

Нечётное простое число представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел тогда и только тогда, когда оно имеет вид 

                            4k + 1                 где    k -  нат. число.

 

Пусть наши числа  х и y. Тогда по этой теореме

 

            х  =  4m + 1 ,  y =  4n + 1                (где  n, m -  нат. числа)

 

Рассмотрим произведение чисел х и y

 

хy =  (4m + 1)(4n + 1) =  16mn + 4m + 4n + 1 = 4*(4mn + m + n) + 1      =>


обозначив выражение 4mn + m + n  чрез некое натуральное число q  имеем

                                           хy =  4q + 1


тогда  по этой же теореме произведение хy  представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел..