В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниям AD и BC; угол A и C составляют в сумме 90 градусов, найти площадь трапеции, если основание AD=2; DC=18

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-05-12T23:36:03+00:00

Решение:

Обозначим стороны трапеции AB-x, BD-y,BC-z; Углы BCD-c, DAB-a, ABD-b, BDC-d.

Из условия угол c+угол a=90 гр

Из прямоугольного Δ DBC: угол c+угол d=90 гр =>

угол a=угол d; угол c =угол d, таким образом  Δ ADB подобный Δ DBC, отсюда следует соотношения 2/y=x/18=y/z.

Тогда 2z=y^2 => z=y^2/2

С другой стороны z=18y/x => получаем систему уравнений 1) 9=x*y, 2)из Δ ADB 2^2+y^2=x^2

Во втором уравнении выражаем x через  y получаем уравнеие y^4 + 4*y^2=81, можно сделать замену переменных y^2=n,

  n^2+4*n-81=0, n1,2=(-4±√ (16+4*81))/2, находим n1≈-11; n2≈7. Берём  n2≈7, тогда y^2=7 => y≈2,6, а x≈3,5. Из Δ DBC по Пифагору y^2+z^2=18^2 находим z≈18,2. Находим среднюю линию (18,2+2)/2=10,1 следовательно S=y*10,1=3,5*10,1=35,35 ед^2

 

Не вижу, что исправлять. Могу прислать другое решение:

Выражаем BD из прямоуг. треуг. CBD и BDC
18 cos a = 2/cos a
18 cos^2 a =2
cos^2 a =1/9
cos a=1/3
BD = 6
BC = 18*2 sqrt(2)/3=12 sqrt(2)
S=36 sqrt(2)+6  прим. равно 56,9116882 ед^2