Первые члены арифметической и геометрической прогрессий равны 3. Второй член арифметической прогрессии на 6 больше второго члена геометрической, а третьи члены этих прогрессий вновь равны. Найдите эти прогрессии, если все их члены положительны.

1

Ответы и объяснения

2014-04-11T23:18:00+04:00
Пусть
а(n) - n-член арифметической прогрессии
b(n) - n-член геометической прогрессии
по формулам прогрессий
а(n)=а(1)+d*(n-1) для арифметической
b(n)=b(1)*q ^{n-1} для геометрической
имеем
а(1)=3  a(2)=3+d  a(3)=3+2*d
b(1)=3  b(2)=3*q    b(2)=3*q²
из условия задачи имеем
a(2)=b(2)+6
a(3)=b(3)
т.е
3+d=3*q+6    отсюда d=3*q+3
3+2*d=3*q² подставим сюда значение d из предыдущего равенства, получим
3+6*q+6=3*q² или 3q²-6*q-9=0 (разделив обе части уравнения на 3, получим
q²-2*q-3=0)
решим полученное квадратное уравнение
q(1)=3 q(2)=-1
т.к. d=3*q+3 d(1)=12  d(2)=0
проверим
при q=-1 и d=0 a(2)=3 b(2)=1/3, что не удовлетворяет условию задачи
при q=3  и d=12 имеем  a(2)=3+12*1=15 q(2)=3*3=9 и a(2)-b(2)=6;
a(3)=3+12*2=27 b(3)=3*3²=27 и a(3)=b(3), что удовлетворяет условию задачи
Окончательно имеем
формула арифметической прогрессии a(n)=3+12*(n-1)
формула геометической прогрессии b(n)=3*3 ^{n-1}