В прямоугольнике mnkp на сторонах nk и mp отмечены точки e и f так, что NE:EK = 3:4, MF:FP = 2:3. Найдите отношение площадей четырехугольников MNEF и PKEF.

1

Ответы и объяснения

2014-04-03T21:27:55+04:00
Чертеж к задаче во вложении.
Пусть t и p - соответствующие коэффициенты пропорциональности, и MN=KP=c.
Т.к. NK||MP, то MNEF и FEKP - прямоугольные трапеции, высота которых равна с.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
Поэтому S_{MNEF} = \dfrac{3t+2p}{2}*cS_{FEKP} = \dfrac{4t+3p}{2}*c
S_{MNEF} : S_{FEKP} = (\dfrac{3t+2p}{2}*c):(\dfrac{4t+3p}{2}*c)=\dfrac{3t+2p}{4t+3p}
Т.к. NK = MP, то 3t+4t=2p+3p, т.е. 7t = 5p. Отсюда р=1,4t. Подставим в дробь:
S_{MNEF} : S_{FEKP} = \dfrac{3t+2p}{4t+3p}=\dfrac{3t+2*1,4t}{4t+3*1,4t}=\dfrac{5,8t}{8,2t}=\dfrac{29}{41}
Ответ: 29:41.