Найдите сумму n - членов ряда ряда и бесконечную сумму 1/1*2*3 +1/2*3*4 +1/3*4*5 .....+1/n(n+1)(n+2) ответ для бесконечной суммы 1/4

1
Комментарий удален
что то вроде треугольника Паскаля
Комментарий удален
у меня просто сразу такая ассоциация была
Комментарий удален

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2014-04-01T14:31:12+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Для начало проверим так ли это ,  по признаку сходимости .   Преобразуем 
домножим каждое слагаемое так что бы в итоге было 
  \frac{1!}{3!}+\frac{1!}{4!}+\frac{2!}{5!}+\frac{3!}{6!}+\frac{4!}{7!}...
 если принять n=0 получим 
    \sum_{n=0}^{ \infty}}  \ \frac{n!}{(n+3)!}  По признаку  Даламбера получим то что ряд сходится . Теперь вычислим саму сумму, ряд можно представить как  
 \frac{1}{2}(\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}...) 
а в скобках это   Треугольник Лейбница и он равен   \frac{1}{2}\\
S=\frac{1}{2}^2=\frac{1}{4}

Запишем 
n=1\\
 \frac{1}{n(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}+\frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}...\\\\
a_{1}= \frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n} - \frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2})\\
a_{2}= \frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+1}-\frac{2}{n+2}+\frac{1}{n+3})\\
a_{3}= \frac{1}{(n+2)(n+3)(n+4)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n+2}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+4})\\\\

 Суммирую , и заметим что если домножить на некое число получим 
 S_{n}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-\frac{n!}{(n+2)!})
  либо 
  S_{n}=\frac{1}{4} - \frac{1}{2(n+1)(n+2)}