В треугольной пирамиде ABCD на ребрах AB BD и DC взяты соответственно точки K,M и P. так что ak/kb=1 bm/md=2 dp/pc=3. Через точки K,M и P проходит плоскость, пересекающая прямые AD BC CA в точках E F и G. Найдите AE/ED BF/FC CG/GA

1

Ответы и объяснения

2012-04-26T16:24:47+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Построение сечения показано на j1.jpg

Проще всего разобраться с AE/ED. Дело в том, что в треугольнике АВЕ ЕК и BD оказались медианами. Это следет просто из выбора точек К и М.

Поэтому АЕ/ЕD = 2. 

Несколько сложнее, но не на много, с другими соотношениями. 

на j1.jpg на нижнем рисунке показано, как вычисляется FC/FB. На чертеж вынесена плоскость DCB, все происходит на ней.

Соль решения - в удачном дополнительном построении - надо провести QC II BD, и рассмотреть пары подобных треугольников  - пара (QPC и QDM) и пара (MBF и FQC)

QC/DM = PC/PD = 1/3; QC = MB/6 (поскольку МВ = 2DM)

Отсюда FB/FC = 6;

На j2.jpg показано, как найти последнее соотношение. Здесь в плоскости АВС (которая и представлена  на рисунке "в плоском виде") строится средняя линяя КТ II AC, КТ = АС/2; и рассмотриваются подобные треугольники FKT и FGC;

ВС = 5*FC (из предыдущего пункта), ТС = 5*FC/2, FT = 7*FC/2;

=> KT = 7*GC/2; AC = 7*GC; AG = 6*GC;

Получается AG/GC = 6;

(странно, совпало отношение :) проверьте, вдруг я ошибся. Хотя точка F - "снаружи" BC, а точка G - "внутри" АС.)

 

Обращаю внимание на то, что я нигде не пользовался какой-то правильностью, равнобедренностью или еще чем таким. Все треугольники - произвольной формы.