В треугольнике abc вписана окружность и еще 3 окружности радиусов r1,r2,r3 так что они попарно касаются сторон треугольника и данной окружности найти ее радиус

1
пойдет
Комментарий удален
вчера увидел седня решил
Комментарий удален
Комментарий удален

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2014-03-28T17:34:17+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Для начало обозначим вершины треугольника как A,B,C
Обозначим центр большей и меньших треугольников соответственно O,O_{1};O_{2};O_{3} . так же радиусы R;R_{1};R_{2};R_{3}
Опустим три радиуса из вписанной окружности на все стороны , как известно радиус перпендикулярен касательной.  
Обозначим проекций радиуса на сторону AC-> B_{1}\\
BC-> A_{1}\\ 
 AB->C_{1}.  
Из этого следует что отрезки 
AC_{1}=AB_{1}\\
BC_{1}=BA_{1}\\
CA_{1}=CB_{1}

  Потому что отрезки касательных проведенные к окружности с одной точки равны .
 Проведем биссектрисы из каждой вершины , они будут пересекаться в одной точке и это точка O.
 Обозначим проекций маленьких окружностей на стороны J,T,N
Тогда очевидно мы получим трапецию у которой основания есть радиусы соответственных окружностей, всего трапеций 3. 
То есть трапеций OO_{1}JA_{1}\\
OO_{2}TA_{1}\\
OO_{3}NB_{1} .
Из каждой трапеций можно выразит по тереме Пифагора боковую сторону прямоугольной трапеций . 
Они будут равны \sqrt{(R_{1}+R)^2-(R-R_{1})^2}=2\sqrt{RR_{1}}\\
\sqrt{(R_{2}+R)^2-(R-R_{2})^2}=2\sqrt{RR_{2}}\\
\sqrt{(R_{3}+R)^2-(R-R_{3})^2}=2\sqrt{RR_{3}}\\
 Заметим так же что треугольники  CO_{1}J\\
BO_{2}T\\
AO_{3}N
 будут подобны , большим прямоугольным треугольникам .  Откуда из подобия получим 
    \frac{CJ}{CJ+2\sqrt{RR_{1}}}=\frac{R_{1}}{R}\\
 CJR=R_{1}CJ+2R_{1}\sqrt{RR_{1}}\\
CJ=\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}
 И так все стороны.  Достаточно найти эти три отрезка и просуммировать , так как  отрезки касательных равны. В итоге получим 
 BC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}}+2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}*\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}}
AC=2\sqrt{RR_{1}}+\frac{2R_{1}\sqrt{RR_{1}}}{R-R_{1}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}
 AB=2\sqrt{RR_{2}}+\frac{2R_{2}\sqrt{RR_{2}}}{R-R_{2}} + 2\sqrt{RR_{3}}+\frac{2R_{3}\sqrt{RR_{3}}}{R-R_{3}}
Теперь зная  стороны , по формуле  S=pr\\r=\frac{S}{p}
Я там все упростил и доделал , весьма сложные преобразований вышло но в итоге ответ такой вышел  R=\sqrt{R_{1}R_{2}}+\sqrt{R_{2}R_{3}}+\sqrt{R_{1}R_{3}}