Ответы и объяснения

  • nomathpls
  • почетный грамотей
2014-03-26T03:39:33+04:00
Пусть t=sinx. Тогда наше неравенство перепишется так:
4t^2-8t+3\geq0. Это - элементарное квадратичное неравенство. Сначала найдем корни трехчлена в левой части:
4t^2-8t+3=0 \\ x_1=\frac{1}{2}; x_2=\frac{3}{2}
Теперь построим график этого трехчлена. Промежутки, на которых наш график больше или равен нулю, я отметил зеленым - эти промежутки и будут решением нашего неравенства.

Теперь вспомним, что мы делали замену, и очень желательно сделать обратную замену - все-таки, мы хотели получить х, а на какой-то там промежуточный t. Учтем, что sinx - ограниченная функция:
  \left \{ {{-1 \leq sinx \leq 1} \atop {t \leq \frac{1}{2}}} \atop {t\geq\frac{3}{2}} \right. \to -1\leq sinx \leq \frac{1}{2}.
 
Мысленно заменяем t на sinx, и получаем то, что после стрелки. Третье неравенство можно не рассматривать по причине того, что все точки там больше единицы.

Мы получили простейшее тригонометрическое неравенство. Синус углов, коим является наше х, измеряется по оси ординат, то есть вертикальной оси. Каким углам соответствуют наши оранжевые точки на окружности? Для них ведь синус равен 0.5, а для всех зеленых точек окружности, он меньше 0.5 и больше -1, т.е. как раз удовлетворяет неравенству. Эти углы несложно найти по тригонометрической таблице - это точки \frac{\pi}{6} и \frac{-7\pi}{6}. Соответственно, эти углы, а также углы между ними, если отсчитывать от отрицательного угла (т.е. начиная с меньшего), будут удовлетворять неравенству.
-\frac{7\pi}{6} \leq x \leq \frac{\pi}{6} или x \in [-\frac{7\pi}{6};\frac{\pi}{6}]

А если не забыть, что прибавляя углы, кратные 2\pi, мы не изменяем их синусы, то можем наконец записать ответ:

x\in [-\frac{7\pi}{6}+2\pi n;\frac{\pi}{6}+2\pi n], n\in \mathbb{Z}

Если что не понятно - пиши в личку.