Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2014-03-25T15:41:38+00:00
1. Найдем предел функции в точке x=0limx→0sin3(x)5x2sin(2x)=00получили неопределенность вида 00. Эту неопределенность можно разрешить двумя способами:
2.1 Разрешим неопределенность, используя тригонометрические преобразования и "замечательный предел"
Наличие синуса sin2(x) в числителе и x2 в знаменателе наталкивает на то, чтобы использовать замечательный предел limx→0sin(x)x=1. Преобразуем предел, чтобы было видно этот замечательный пределlimx→0sin3(x)5x2sin(2x)limx→0sin(x)xsin(x)xsin(x)5sin(2x)=Применим формулу синуса двойного угла sin(2x)=2sin(x)∗cos(x), получим=limx→0sin(x)xsin(x)xsin(x)5∗2sin(x)cos(x)=limx→0sin(x)xsin(x)x110cos(x)=1∗1∗110∗1=110
2.2 Применяем правило Лопиталя,
Запишем правило Лопиталяlimx→af(x)g(x)=limx→af′(x)g′(x)=f′(a)g′(a)Упростим дробь, применим формулу синуса двойного углаlimx→0sin3(x)5x2sin(2x)=limx→0sin3(x)5x22sin(x)cos(x)=limx→0sin2(x)10x2cos(x)Применяем правило Лопиталя=limx→0(sin2(x))′(10x2cos(x))′=limx→02sin(x)∗cos(x)10(2xcos(x)−x2∗sin(x))=limx→0110sin(2x)2xcos(x)−x2∗sin(x)=00Опять получили неопределенность вида 00 повторно применим правило Лопиталя=limx→0110(sin(2x))′(2xcos(x)−x2∗sin(x))′=limx→01102cos(2x)2cos(x) −2xsin(x)−2xsin(x)+x2∗cos(x)=1102∗12∗1 −2∗0∗0−2∗0∗0+02∗1=110
Получили, что применение правила Лопиталя не всегда приводит к более простому решению.
Ответ:limx→0sin3(x)5x2sin(2x)=110