Пусть x₁ и x₂-корни уравнения 3x²-4x-1=0.Не решая уравнения,найдите:
а)x₁²x₂+x₁x₂²
б)x₂/x₁+x₁/x₂(складываются дроби)
в)x₁³+x₂³

1

Ответы и объяснения

2014-03-22T13:21:46+04:00
Решение:
Для каждого условия найдем свою формулу нахождения выражения корней при помощи т. Виета.
1) x_1^2x_2+x_1x_2^2 =
x_1x_1x_2+x_1x_2x_2 =
x_1q+x_2q =
q(x_1+x_2)=
-pq
Перед квадратом находится коэффициент 3. Избавимся от него, поделив все уравнение на 3:
3x^2-4x-1=
x^2-\frac{4}{3}x
-\frac{1}{3}
Таким образом,
x_1^2x_2+x_1x_2^2 =
-pq = \frac{4}{3}*-\frac{1}{3} =
-\frac{4}{9}
2) \frac{x_2}{x_1}+\frac{x_1}{x_2}=
\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1x_2}=
\frac
{p^2-2q}{q}
НА ЗАМЕТКУ: x_1^2+x_2^2=p^2-2q
Подставляем в уравнение:
-\frac{\frac{16}{9}+\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}}=-8

3) x_1^3+x_2^3 =
(x_1+x_2)(x_1^2+x_1x_2+x_2^2)=
-p(p^2-2q+q)=
-p(p^2-q)= \\
=-p^3+pq
Теперь,
\frac{64}{27}+\frac{4}{9}=2\frac{8}{9}