Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2014-03-21T23:56:18+04:00
Это скорее задача по алгебре:)
Пусть у призмы высота равна h, а сторона основания равна х (в основании лежит квадрат так как призма правильная).
"Боковая поверхность наибольшая" - означает, что у нее должна быть наибольшая площадь. Площадь боковой поверхности S = 4хh (высоту умножаем на периметр).
Далее ищем связь между х и h: радиус сфера равен 5 корней из 2. Проводим сечение призмы, проходящее через параллельные диагонали верхней и нижней грани. Если назвать призму АВСДА1В1С1Д1, то это сечение будет АСС1А1. Это сечение - прямоугольник, вписанный в окружность (окружность - это сечение сферы, в которой наша призма). Радиус сферы - половина диагонали сечения, тогда диагональ сечения равна 10 корней из 2. Стороны сечения - это высота всей призмы (h) и диагональ ее основания (x корней из 2). Для сторон сечения и его диагонали (а сечение - это прямоугольник) можно записать теорему Пифагора:  h^{2}  + (2x)^{2} = (10 \sqrt{2} )^2
Тогда:  h^{2}  + 4x^{2} = 200
Откуда h =  \sqrt{200 - 4x^2}
Тогда  S = 4xh =  4x\sqrt{200 - 4x^2} - получили функцию S(x), максимум которой мы ищем (а это уже задача по алгебре:) ).
S(x) = 4x \sqrt{200 - 4x^2} =  8x \sqrt{50 - x^2}
S'(x) = -16\,{\frac {-25+{x}^{2}}{\sqrt {50-{x}^{2}}}}
Отсюда видно, что S'(x) = 0 при х = 5 - это и есть точка, в которой площадь боковой поверхности наибольшая. А искали мы сторону, то есть х.

Ответ: сторона призмы равна 5.