Ответы и объяснения

  • nelle987
  • Ведущий Модератор
2014-03-12T23:19:50+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\dfrac1{\sin x\cos x}

Верно ли,  что 1/(sin x cos x) > sin x + cos x при всех x?

Представим себе, что x = pi - epsilon, epsilon - очень маленькое положительное число. Тогда sin x - почти ноль, cos x - почти -1.

Левая часть неравенства почти "минус бесконечность", в то время как правая часть - почти -1. Неравенство не выполняется.

Легко установить, при каких x это неравенство верно. 
Пусть sin x cos x > 0 (угол третьей или первой четверти). Домножим на sin x cos x:
(sin x + cos x) sin x cos x < 1 - требуется проверить.

(sin x + cos x) sin x cos x - 1 = sin^2 x cos x + sin x cos^2 x - sin^2 x - cos^2 x =
= sin^2 x (cos x - 1) + cos^2 x (sin x - 1)
Каждая скобка отрицательна (синус и косинус не больше 1; с учётом ограничения sin x cos x > 0 неравенство строгое), тогда вся сумма < 0.

При sin x cos x < 0 это неравенство неверно: проделав такие же выкладки, придём к нигде не верному неравенству sin^2 x (cos x - 1) + cos^2 x (sin x - 1) > 0