Ответы и объяснения

2014-03-12T14:44:58+00:00
Производная функции − одно из основных понятий математики, а в математическом анализе производная наряду с интегралом занимает центральное место. Процесс нахождения производной называетсядифференцированием. Обратная операция − восстановление функции по известной производной − называется интегрированием. 

Производная функции в некоторой точке характеризует скорость изменения функции в этой точке. Оценку скорости изменения можно получить, вычислив отношение изменения функции Δy к соответствующему изменению аргумента Δx. В определении производной такое отношение рассматривается в пределе при условии Δx → 0. Перейдем к более строгой формулировке:Определение производнойРассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулойДля производной используются обозначения:Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:Записать отношение ;Упростить дробь, сократив ее, если возможно, на Δx;

Найти производную , вычисляя предел дроби. Если данный предел существует, то говорят, что функция  f(x) дифференцируема в точке x = x0.В примерах ниже мы выведем производные основных элементарных функций, используя приведенное формальное определение производной. Эти функции составляют основной костяк в том смысле, что производные других функций можно выразить уже через них, применяя правила действия с производными. 

   Пример 1Используя определение производной, показать, что производная постоянного числа равна 0.
Решение.
В данном случае функция y(x) всегда равна некоторой константе C. Поэтому можно записать      Ясно, что приращение функции тождественно равно нулю:      Подставляя это в определение производной через предел, получаем: