Помогите решить " розв'язати диференціальне рівняння :
y'x+y= -xy^{2}

1

Ответы и объяснения

  • Minsk00
  • почетный грамотей
2014-03-12T03:37:18+00:00
 y'x + y = -xy²
 y' + y/x= -y² 
 Это уравнение Бернулли которое приведем к линейному уравнению
 y'/y² + 1/(yx) = -1
 Обозначим z = 1/y
 Тогда z' = -1/y²
 -z' + z/x = -1
 z' -  z/x = 1
 Это уравнение является линейным относительно z
Решим методом Бернулли
Полагаем что z =u*v тогда z' =u'v + uv'
u'v + uv' - uv/x = 1
u'v + u(v' -v/x) = 1
Сначала решаем уравнение
v' -v/x = 0
v' = v/x
dv/v = dx/x
ln(v) = ln(x)
v = x
Теперь решаем уравнение
u'х + u*0 = 1
u' = 1/x
du =(1/x)dx
u = ln(x) + C
Итак общее решение уравнения
z = uv = x(ln(x)+C)) = xln(x) + Cx
Находим переменную y
y = 1/z =1/(xln(x)+Cx)
Общее решение дифференциального уравнения
y = 1/(xln(x)+Cx)