Ответы и объяснения

  • Minsk00
  • почетный грамотей
2014-03-07T17:16:26+04:00
Решить дифференциальное уравнение:
5xydx - (y² + 5x²)dy = 0.
 (y²+5x²)dy = 5xydx
 dy/dx = 5xy/(y² + 5x²)
 Получили однородное дифференциальное уравнение так как
 функция 5xy/(y² + 5x²) однородная нулевого порядка
 или если подставить вместо х и у kx и ky то получим
 5(kx*kx)/((ky)²+5(kx)²) =(k^0)*5(yx)/(y²+5x²)
 Положим y = ux или u = y/x, y' = xu'+ u
 Подставим в исходное уравнение
 xu'+ u = 5ux²/(u²*x² +5x²)
 xu'+ u = 5u/(u² + 5)
 xu' = (5u - u³ - 5u)/(u² + 5)
 xu' = -u³/(u² + 5)
 ((u² + 5)/u³)u' = -1/x
 Получили уравнение с разделяющимися переменными
 (1/u + 5/u³)du = -dx/x
 Интегрируем обе части уравнения
 ln(u) - 5/(2u²)  = -ln(x) + ln(C)
 Произведем обратную замену
 ln(y/x) - 5/(2(y/x)²)  = -ln(x) + ln(C)
 ln(y) - ln(x) - 5x²/(2y²) = -ln(x) + ln(C)
 ln(y/C) - 5x²/(2y²)  = 0
Получили решение дифференциального уравнения в неявном виде.
Ответ:ln(y/C) - 5x²/(2y²)  = 0