Докажите, что в десятичной записи числа 2 ^697 какая-то циф­ра встретится не менее 22 раз.

1
перезагрузи страницу если не видно

Ответы и объяснения

2014-03-06T20:04:08+04:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Для начало нужно узнать сколько цифр будет в данном числе , можно использовать метод оценки чисел , то есть ясно что к примеру 10^5 в ней с единице 6 цифр , используем его 
2^{697}=(2^{17})^{41}=(131072)^{41}>(100000)^{41}\\ а в числе (10^5)^{41}=206 цифр то есть в нашем чисел более 206 цифр . 
Но так как наше число образованна произведением чисел 2  в ней вероятность попадания четных чисел большая .    
Предположим что есть какая то цифра x и ее периодичность в среднем  встречается в 4 раза то мы знаем что цифр в числе больше 206 , я проверил точно их 216 , это не важно , тогда 216/4=54 цифр . Снизим нашу вероятность 216/10=21,6
то есть уже 21. Но учитывая то что числа в четной степени важно заметить что числа к примеру 1,5,0,7  будут реже всех встречаться это видно из соображения разложение в степени двоек ,  так как если в числе число 0 превосходило всех то в них было произведение множителей вида 2^n*5^k .
Далее оценим вероятность попадания 8 , 2^3=8 то она может встречаться с вероятностью больше чем  4 других числа. 
То есть из этого можно сделать вывод что уже 4 числа будет встречаться реже всех. А остальные 6 с большой вероятностью . А ранее мы оценили периодичность , объединяя ее получаем что в среднем хотя бы через каждые каких то определенных чисел будут встречаться Цифра с периодичностью 
\frac{216}{10}<x