Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, ели радиус равен 10, и ее средняя линия равна высоте

1
вопрос а от какого основания она делит высоту ? должно быть сказано
в задаче этого не сказано, неверное от верхнего
сейчас напишу
перезагрузи страницу если не видно
конечно есть более менее красивое решение , но что то не хочется тратить на это время Ответ есть ответ

Ответы и объяснения

2014-03-03T16:29:52+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.
Для начало выведем некие следствия, пусть  наши основания большее и меньшее соответственно равны b,c. Пусть высота h тогда по условию 
 \frac{b+c}{2}=h\\
 . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как a , диагонали у трапеции равны d_{1}=d_{2}=d. Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то  диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна 
S=\frac{d*d*sin90}{2}=\frac{d^2}{2} , с другой стороны 
S=\frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2 из чего следует  d^2=2h^2\\
d=\sqrt{2}h   
 Рассмотрим треугольник BCD радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций ABCD
Площадь треугольника S_{BCD}=\frac{c*h}{2} , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений 3:4 (как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как 3x;4x. Тогда высота трапеций и треугольника будет равна h=7x . Значит площадь треугольника 
 S_{BCD}=\frac{7x*c}{2}. Как известно по формуле R=\frac{abc}{4R} вычислим наш радиус  R=\frac{7x\sqrt{2}*a*c}{4*\frac{7x*c}{2}}=10\\
a=\frac{20}{\sqrt{2}} . Теперь можно поступить так 
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения 
2) Выразим радиус по формуле R=\frac{adc}{4\sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}} 

1)(\frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2 
2) если все подставить перейдем на такое уравнение     
R=\frac{140cx}{\sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}\sqrt{98x^2+280x-c^2+200}} оно равна 10 

1)  c^2=400-36x^2\\
 подставляя во второе уравнение 
\frac{140x\sqrt{400-36x^2}}{\sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}\sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10
откуда решая это уравнение получаем 
x=2  тогда основание нижнее равна     
c=\sqrt{400-36*4}=16\\
\frac{b+16}{2}=14\\
b+16=28\\
b=12
Ответ основания равны  16 и 12