Найдите площадь треугольника,ограниченного осями координат и касательной,проведенной к графику функции y= \frac{x}{2x-1} в точке x(нулевое)=1.

1

Ответы и объяснения

2014-02-25T16:56:32+04:00
Касательная в точке х=1
y-y_0=y'_0(x-x_0);\\
y=y'_0(x-x_0)+x_0;\\
y_0=y(x_0);\\
y'_0=y'(x_0);\\
y'=(\frac{x}{2x-1})'=\frac{2x-1-2x}{(2x-1)^2}=\frac{1}{(2x-1)^2};\\
x_0=1; y_0=\frac{1}{2-1}=1; y'_0=1;\\
y=1\cdot(x-1)-1=x-2;\\
y=x-2 уравнение касательной,
ограничена ею и осями координат
OY -итегрируем с х=0;
ОХ-до точки пересичения графика с ОХ(у=0)==>x-2=0==>x=2
S= \left|\int\limits^2_0 {x-2} \, dx\right|=\left|\frac{x^2}{2}\left|_0^2-2x\right|_0^2\right|=\\
=\left|\frac{1}{2}(2^2-0^2)-2(2-0)\right|=\left|2-4\right|=2;
проверить можно, касательная пересекает оси координат в точках (0;-2) и (2;0),
у нас прямоугольный треугольник с катетами 2 и 2, а площадь (1/2)*2*2=2