В треугольнике АВС медианы АD и BE пересекаются под прямым углом, АС=3, ВС=4. Найдите АВ. РЕШЕНИЕ и РИСУНОК.

ЕРУНДУ НЕ ПИШЕТЕ. УДАЛЯЮ СРАЗУ.

2

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
  • Участник Знаний
2012-04-01T10:13:09+00:00

Пусть х -длина отрезка  КЕ , а у -длина отрезка KD .

По свойству медиан ВК=2х, АК=2у.

По теореме Пифагора для треугольников АКЕ и АКВ получим

АК^2+KE^2=AE^2 

BK^2+KD^2=BD^2 (4/2)^2=4

сделаем подстановку значений

4у^2+x^2=(3/2)^2=9/4 (1)

4x^2+y^2=4                    (2)

сложим  (1) и (2)

5у^2+5x^2=25/4    сократим обе части на 5

у^2+x^2=5/4

АВ^2=(2x)^2 + (2y)^2 = 4*( у^2+x^2)=4*5/4= 5

Ответ  AB= √5

2012-04-01T10:52:08+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

Я уже решал тут такую задачу, номер не могу вспомнить.

Пусть О - точка пересечения медиан.

Если взглянуть на хорошо нарисованный чертеж (то есть такой, где медианы треугольника взаимно перпендикулярны), можно увидеть три прямоугольных треугольника (их там больше, но нам только эти нужны) АОВ, АОЕ и BOD.

если обозначить КОРОТКИЕ ОТРЕЗКИ медиан, как y и z (ОD = z, при этом по свойству медиан ОА = 2*z, и так же OE = y, поэтому ОВ = 2*y), а неизвестную сторону АВ = х, то из этих треугольников сразу получается 3 равенства:

(2*y)^2 + (2*z)^2 = x^2; то есть х^2 = 4*(y^2 + z^2);

z^2 + (2*y)^2 = BD^2 = 4;

(2*z)^2 + y^2 = AE^2 = (3/2)^2 = 9/4;

Два последних уравнения можно честно решить, найти y и z, и вычислить х. Но раз нам надо только найти сумму квадратов y и z, можно сложить эти 2 последних уравнения, и мы сразу получим ответ.

5*(y^2 + z^2) = 4 + 9/4 = 25/4; (y^2 + z^2) = 5/4; x^2 = 5;

Ответ АВ = корень(5)