ПОМОГИТЕ РЕШИТЬ СРОЧНО

Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках A(-3; -3), B(-4; 4), C(3;5), D(4;-2) является прямоугольником.

1

Ответы и объяснения

2014-02-17T17:44:26+00:00
Для начала можно для себя отобразить эти точки в ортонормированной системе координат и посмотреть, как будет выглядеть этот четырехугольник.
Его стороны - векторы AB, BC, CD и DA. (векторы будем записывать курсивом)
Найдем координаты этих векторов.
Напомню, как находят координаты вектора:
Если у нас есть точки A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора находят следующим образом: AB = (x₂ - x₁; y₂ - y₁). (1).
В нашем случае: A(-3; -3); B(-4; 4), значит, согласно формуле (1), координаты вектора AB = (-4 - (-3); 4 - (-3)) = (-1; 7).
Для остальных векторов я вычисления так подробно записывать не буду, запишу лишь результат. Если вы захотите проверить, верны ли мои вычисления, вы можете проверить это с помощью формулы (1), как видите, это несложно.
BC = (7; 1);
CD = (1; -7);
DA = (-7; -1).

Напомню признак коллинеарности двух векторов:
Если AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂) и при этом выполняется равенство (x₁/x₂) = (y₁/y₂), то AB || CD (AB коллинеарен CD).

Исследуем на коллинеарность наши векторы AB = (-1; 7) и CD = (1; -7):
                          (-1/1) = (7/-7);
                             -1   =   -1.
Равенство выполняется, значит, AB || CD.
Аналогично исследуем на коллинеарность векторы BC и DA.

Теперь найдем длины этих векторов.
Если AB = (x, y), то его длину можно найти так: |AB| = sqrt(x² + y²).

|AB| = 
sqrt((-1)² + 7²) = √50;
|BC| = sqrt(7² + 1²) = √50;
|CD| = √50;
|DA| = √50.

Выходит, что в нашем четырехугольнике стороны попарно равны и параллельны, более того - все стороны равны. Отсюда следует, что наш четырехугольник ни что иное, как ромб.

Осталось лишь доказать, что углы, образуемые векторами, прямые. Можно сделать это по-разному, можно найти скалярное произведение векторов, образующих углы, можно воспользоваться методом для извращенцев - найти длину вектора AC и убедиться с помощью теоремы Пифагора, что ΔABC - прямоугольный.

Рассмотрю оба способа:
1) Напомню, как находят скалярное произведение: AB = (x₁; y₁), CD = (x₂; y₂);
  (AB, CD) = x₁x₂ + y₁y₂. (2)
   Найдем скалярное произведение наших векторов AB и BC с помощью формулы (2):
  (AB, BC) = (-1)*7 + 7*1 = 0 - это говорит о том, что векторы перпендикулярны, т.к скалярное произведение можно записать так: (AB, BC) = |AB| * |BC| * cos(AB^BC). Если скалярное произведение равно нулю, то это значит, что либо одна из длин векторов равна нулю, либо косинус угла между векторами равен нулю. В нашем случае длины векторов не равны нулю ⇒ cos (AB^BC) = 0 ⇒ (AB^BC) = 90°.

 Для остальных пар векторов делаете аналогично.

2) Найдем длину вектора AC -  |AC| = √100.
   Проверим, является ли ΔABC прямоугольным с помощью теоремы Пифагора:
                    (√100)² = (√50)² + (√50)²;
                       100   =   50 + 50 ⇒ ΔABC - прямоугольный, прямой угол лежит против большей стороны.
   Для остальных углов можно это проверить аналогично.

   В итоге получается, что наш четырехугольник не только прямоугольник, но и квадрат.
Фух, всё.
   
                 


Курсив почему-то в некоторых случаях не сработал, ну да ладно, думаю и так понятно, где вектор, а где нет.