Доказать утверждение методом математической индукции: (n*(2*n^2-3*n+1)) кратно 6 для всех натуральных n.

1

Ответы и объяснения

Лучший Ответ!
2012-03-22T19:33:11+00:00

Это Проверенный ответ

×
Проверенные ответы содержат надёжную, заслуживающую доверия информацию, оценённую командой экспертов. На "Знаниях" вы найдёте миллионы ответов, правильность которых подтвердили активные участники сообщества, но Проверенные ответы - это лучшие из лучших.

База индукции

При n=1

1*(2*1^2-3*1+1)=0 делится на 6 нацело (кратно 6)

 

Гипотеза индукции

Пусть при n=k утверждение верно

т.е.

k*(2*k^2-3*k+1) кратно 6.

 

Шаг индукции. Докажем, что тогда при n=k+1  утверждение тоже верно.

n*(2*n^2-3*n+1)=(k+1)*(2(k+1)^2-3*(k+1)+1)=(k+1)(2k^2+4k+2-3k-3+1)=

=(k+1)(2k^2-3k+1 + 4k-1)=(k+1)(2k^2-3k+1) +(k+1)(4k-1)=k(2k^2-3k+1)+2k^2-3k+1+4k^2-k+4k-1=k(2k^2-3k+1)+6k^2, что делится на 6 нацело, первое слагаемое по гипотезе индукции, второе так как в произведение входит множитель 6 кратный 6

 

По принципу математической индукции данное утверждение верно для любого натурального n. Доказано